La matemática y el cero

division by zero

El cero siempre planteó serios problemas a los matemáticos a lo largo de la historia. Las reglas de l´Hopital (o mejor dicho, de Bernoulli) tratan sobre indeterminaciones con ese número y otros. A continuación, tres casos famosos relacionados con el cero. Aviso que tal vez sólo le pueda gustar a los simpatizantes de las matemáticas.

Dividir por cero

Si le preguntan a cualquier joven universitario que pasa cuando uno divide cualquier número por cero, éste seguramente le responderá que es infinito. La lógica es simple, mientras el denominador se hace más chico, el resultado se hace más grande; a medida que tiende a cero el denominador, el resultado tiende a infinito con la misma celeridad.

Sin embardo, el planteo es un poquito más complejo. Volvamos a las bases y preguntémonos qué es una división. La división es una sustracción “iterada”, por ejemplo 20/4=5 no es más que restar 5 veces el número 4 al 20:

  1. 20-4= 16
  2. 16-4=12
  3. 12-4=8
  4. 8-4=4
  5. 4-4=0

Ahora si hacemos 20/0, por más que hagamos infinitas veces 20-0, siempre el resultado va a ser 0 y es acá donde nos encontramos con nuestra primera piedra y replanteo: ¿Siguen estando tan seguros que dividir por cero es infinito?

También, la gente tiende a simplificar diciendo que cualquier número dividido a cero es infinito (x/0 = ∞), pero tenemos una nueva piedra en zapato. Si estamos tan seguro de ellos entonces la siguiente expresión sería correcta:

1/0 = ∞ = 2/0, WTF?

Y de algo estamos todos seguros, 1 es distinto de 2 (1 ≠ 2).

Si uno toma el límite de x para 1/x, la solución tiende a infinito, pero si nos acercamos a cero desde el lado de los números negativos, los valores tienden a -∞, generando una hipérbola de resultados como se aprecia en la siguiente imagen:

Hipérbola

Es por eso que por convención, los matemáticos concordaron que cualquier número dividido a cero es indefinido. Si quieren leer el desarrollo histórico de este problema les dejo el link de la Wiki en inglés que está muy completo.

Cero dividido a cero

Hemos visto que dividir cualquier número sobre cero no es infinito sino que es una indefinición. Ahora, ¿qué sucede si tomo el caso particular de dividir cero sobre cero? Lo que hacemos es intentar descubrirlo por dos aproximaciones diferentes.

Aproximación N°1: Tomamos el par (x,y) y le damos los mismos valores a ambos en la división x/y. Vamos a ver que independientemente que tan grande o chico sea el par, el resultado es uno:

1/1=1   o.1/o.1=1   0.001/0.001=1   0.0001/0.0001=1

Y así, haciendo tender cociente y denominador a cero, podríamos inferir que 0/0=1

Aproximación N°2: Tomamos el par (x,y), le asignamos valor cero al cociente y hacemos tender a cero el denominador:

0/1=0   0/0.1=0   0/0.01=0   0/0.001=0   0/0.0001=0

Lo que podríamos inferir que 0/0=0.

Se pueden realizar otras aproximaciones  por diferentes direcciones al origen de coordenandas (x,y)=(0,0) y van a dar diferentes valores, por lo que los matemáticos dicen que dividir cero sobre cero es una indeterminación.

Cero a la potencia de cero

Cero a la potencia de cualquier número es cero. Y cualquier número a la potencia de cero es 1. Esto es:

0x=0                X0=1

Pero, ¿qué sucede cuando estas dos expresiones “colisionan” con 00? ¿El resultado es 0 o 1?

Para encontrar una explicación se trabaja con los límites de la ecuación y se lo hace tender a cero desde el lado positivo y negativo. Matemáticamente:

Limx→0± xx

y se obtiene que tanto desde el lado positivo como negativo, los valores tienen a 1. Pero eso es sólo para el plano real. En el plano complejo (números imaginarios y reales) diferentes aproximaciones dan diferentes valores y por ende sigue siendo una indefinición. Conclusión: cero a la potencia de cero no es ningún número. 

(Si quieren ver más demostraciones de por qué es una indefinición, les dejo este link a un genial blog de matemáticas donde lo explica para diferentes niveles: para tres tipos de estudiantes inteligentes, profesores de secundario, profesores de cálculo y matemáticos. Eso sí, está en inglés.)

Conclusión

Simple:

0/0 = x/0 = 0= INDEFINIDO.

Hasta la próxima y espero no haberlos aburrido!

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7 respuestas a La matemática y el cero

  1. Nachox dijo:

    No hacía falta demasiado para terminar de quemarme la cabeza un viernes, y vos aparecés con esto…

  2. chimango dijo:

    De hecho recuerdo haberle preguntado a Elisa por qué X**0=1 y me dijo “por convención”, que es otra manera que tienen los matemáticos de decir “porque lo digo yo” 😀

  3. Leandro dijo:

    mmmm “There are some further reasons why using 0**0=1 is preferable, but they boil down to that choice being more useful than the alternative choices, leading to simpler theorems, or feeling more “natural” to mathematicians. The choice is not “right”, it is merely nice.” del link que compartis… ¿Cómo queda el asunto?

    • Guillote dijo:

      Lo de 0**0=1 viene atado a la demostración que se hace más arriba a partir del teorema binomial. Como es una aproximación, no deja de ser aproximativa, y por ende, dependiendo de la selección de algunos coeficientes, la solución se puede considerar más elegante y estética, como le gusta a la mayoría de los mortales (y allí 0**0=1) o más fea, rígida y correcta, donde 0**0=undefined.
      Saludos y espero haber aclarado la duda.

  4. Pingback: Esto es lo que ocurre si divides entre cero en una calculadora mecánica.

  5. Anónimo dijo:

    “…los matemáticos concordaron que cualquier número dividido a cero es indefinido”, luego en “Cero dividido a cero: …los matemáticos dicen que dividir cero sobre cero es una indeterminación.” Todo bien, hasta aquí todo tenía sentido… pero luego
    “Conclusión

    Simple:

    0/0 = x/0 = 00 = INDEFINIDO.” WTF? ¿Cero dividido a cero es INDEFINIDO o INDETERMINADO? Decídete! No entiendo nada.

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