Sabías que… #17: El número de Graham

En el Sabías que… #6 habíamos hablado de 2 números gigantescos; el gúgol y el gúgolplex. Habíamos dicho que si intentáramos escribir en una hoja el último de ellos nos faltaría espacio en el universo conocido para terminar de hacerlo. Creíamos que ese era el número más cercano al infinito pero nos equivocamos; un nuevo “monstruo matemático” acecha por aquí: El número de Graham.

Éste se debe al matemático Ronald Graham y no es que este muchacho jugaba a escribir el número más grande sino que vió la luz “accidentalmente” en una solución de un problema matemático conocido como teorema de Ramsey. Graham y su compañero buscaban acotar el número de posibles soluciones y en 1971 obtuvieron que la solución debía estar entre 6 y el infinito (esto es; 6 ≤ N*N). Posteriormente, Graham siguió trabajando y pudo dilucidar que el problema también presentaba una cota superior y que no iba hasta el infinito, esa cota superior era el número de Graham. Actualmente se sabe que la resolución del problema está entre [11 ≤ N*G], donde G es el número de Graham.

¿Qué tan grande es?

Es inimaginablemente grande. Cuando uno quiere escribir números gigantescos lo que hace es elevarlos a una potencia. Así vimos que como con el gúgol que era 10100  y que escribirlo en potencias cuesta “sólo” cinco números. Si lo queremos representar sin potencias quedaba:

10100 = 10 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000
 

Vieron lo poderosa que es la potenciación! Ahora, el gúgolplex es 10 a la 10 a la 100 o lo que es lo mismo 10 elevado a 1 seguido de 100 ceros. Un número desorbitadamente grande. Dicho esto, ahora les digo que para representar al número de Graham. Las torres de exponenciales de la forma a ^{ b ^{ c ^{ \cdot ^{ \cdot ^{ \cdot}}}}} no sirven porque representan a números demasiados pequeños para nuestro propósito. Lo que se utiliza son las notaciones de flechas de Knuth´s y funcionan de la siguiente forma:

3\uparrow\uparrow 2=3^3=27
3\uparrow\uparrow 3=3^{3^3}=3^{27}=7,625,597,484,987
3\uparrow\uparrow 4=3^{3^{3^3}}=3^{7625597484987}
3\uparrow\uparrow 5=3^{3^{3^{3^3}}} = 3^{3^{7625597484987}}

Como notarán, es mucho más cómoda y se obtienen números gigantescos usando (por ejemplo) dos números y dos flechas. Pero la podemos hacer más difícil y variar la cantidad de “flechas”:

  • 3↑3 = 3.3.3 = 27
  • 3↑↑3 = 3↑(3↑3)=3(e 27) = 7.625.597.484.987
  • 3↑↑↑3= 3↑↑3↑↑3 = 3(e 7.625.597.484.987) = A UN NÚMERO FUERA DE ESCALA.

El número de Graham

Ahora nos empezamos a acercar un delta a lo que es el número de Graham. Veamos el siguiente número que es la continuación de lo que veníamos describiendo:

g1 = 3↑↑↑↑3 = 3 elevado a un número que es igual a elevar 7,6 trillones de veces 3.

Y seguimos por el otro: g2 = 3↑………↑3. Donde hay g1 cantidad de flechas! Ahora ven adonde vamos?

Sigamos con el siguiente: g3 = 3↑………↑3 Donde hay g2 cantidad de flechas y recordemos que g2 fue generado con g1 flechas. Esto lo debemos repetir una y otra y otra vez hasta llegar a:

g64 = 3↑………↑3 que es el NÚMERO DE GRAHAM

Ni siquiera yo escribiendo y ustedes leyendo nos podemos dar una idea cabal de lo que es este gigantezco número. No podemos asociar nada del universo con él. Un buen cálculo hecho dice que si dividiéramos todo el universo conocido en volúmenes de Planck (1× 10−105 m3) obtendríamos el valor de 10185 que comparado con 3↑↑↑3 es ridículamente más chico. Y eso que ni siquiera hemos hablado de compara algo con g1.

Existen otros números grandes obtenidos como resultado de ecuaciones o problemas matemáticos como el de Skewes o el de Monses y según leí por ahí en los últimos años se encontraron otros números aplicables a problemas matemáticos aún más grandes que el de Graham pero ninguno tan famoso como él. A continuación les dejo un video de 9 minutos donde se explica sencillamente bien (en inglés):

Los que quieran ver más videos sobre este curioso numerito les dejo este link que contiene muchos videos sobre el tema. Como reflexión final, si de por sí es inentendible lo grande que es este número finito imagínense que nunca vamos a podernos dar una idea cabal del infinito. Es más; si bien el número de Graham es mucho más grande que el cero, ambos están a la misma distancia del infinito. Espero que les haya gustado y será hasta la próxima!

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20 respuestas a Sabías que… #17: El número de Graham

  1. Gabinni dijo:

    Qué buena frase de cierre, jajajaja

  2. chimango dijo:

    No he tenido tiempo ni para pasar por acá estas dos semanas pasadas, pero esto es relevante al post:
    http://www.smbc-comics.com/index.php?db=comics&id=2615#comic

  3. ivan tchakoff dijo:

    Hola, interesante artículo, pero se deslizó un error. En donde dice “…número que es igual a elevar 7,6 trillones de veces 3”, debería decir “7,6 BILLONES de veces 3” Esto seguro se debe a que el idioma inglés se presta a confusión: trillon en inglés quiere decir billón en español.

    • ferchosan6 dijo:

      otro error:
      al decir que
      a) 3↑3 = 3.3.3 = 27
      b) 3↑↑3 = 3↑(3↑3)=3(e 27) = 7.625.597.484.987
      c) 3↑↑↑3= 3↑↑3↑↑3 = 3(e 7.625.597.484.987) = A UN NÚMERO FUERA DE ESCALA.
      no se que quiere decir con la letra e. Pero si quiere decir “elevado a la” como se deduce del ítem b, {3(e 27) = 7.625.597.484.987}, entonces, en el ítem c esta equivocado porque 3↑↑↑3 seria igual a 3↑↑4, lo cual no es cierto.
      En realidad 3↑↑↑3= 3↑↑3↑↑3= 3↑↑(3↑↑3)=3↑↑7.625.597.484.987
      que es diferente a 3↑7.625.597.484.987 (3 elevado a la potencia 7.625.597.484.987 que a su vez es lo mismo que 3↑↑4).
      si el símbolo e quiere decir otra cosa, entonces la equivocación está en el item b
      veamos algo mas:
      3↑↑3= torre de 2 treses (3 a la 3) = 27
      3↑↑3= torre de 3 treses (3 a la 3 a la 3) = 3 ala 27 = 7.625.597.484.987
      3↑↑4= torre de 4 treses (3 a la 3 a la 3 a la 3) = 3 ala (3 ala 27) = 3 ala 7.625.597.484.987
      que es un poco más de 10 elevado a la 2.310.787.116.662 ( un 1 seguido de más de 2 billones de ceros; para escribirlo, a la velocidad de 10 ceros por segundo, tardaríamos más de 7.300 años!))
      3↑↑5= torre de 5 treses (3 a la 3 a la 3 a la 3 a la 3) = (3 a la (3↑↑4) el cual para escribirlo no nos alcanzaría este universo, ni inimaginables universos mas!
      y así sucesivamente hasta llegar a..
      3↑↑7.625.597.484.987= torre de 7.625.597.484.987 treses (3 a la 3 … … .. 3 a la 3)
      …que es solo tres flechitas 3↑↑↑3, (3↑↑↑3=3↑↑3↑↑3=3↑↑(3↑↑3)=3↑↑7.625.597.484.987), con lo cual vemos el poder (por llamarlo de alguna manera) de las flechitas!!
      ahora g1 es con cuatro flechitas: 3↑↑↑↑3 = 3↑↑↑(3↑↑↑3) = 3↑↑↑(3↑↑7.625.597.484.987) = una serie 3↑↑3↑↑3↑↑3↑↑3↑↑3 … … … 3↑↑3↑↑3↑↑3↑↑3↑↑3 donde el numero 3 aparece 3↑↑7.625.597.484.987 veces!!
      para darnos una idea:
      g1 = 3↑↑↑↑3 = 3↑↑↑(3↑↑↑3) = 3↑↑↑(3↑↑7.625.597.484.987) =
      3↑↑3↑↑3↑↑3↑↑3↑↑3 … … … 3↑↑3↑↑3↑↑3↑↑3↑↑3 (donde el numero 3 aparece {3↑↑7.625.597.484.987} veces)
      retomando, 3↑↑3↑↑3↑↑3↑↑3↑↑3 … … … 3↑↑3↑↑3↑↑3↑↑3↑↑3 =
      solo ocupándose de los 3 últimos tres
      3↑↑3↑↑3↑↑3↑↑3↑↑3 … … … … 3↑↑3↑↑3↑↑(3↑↑3↑↑3) =
      y ya que 3↑↑↑3= 3↑↑3↑↑3,
      3↑↑3↑↑3↑↑3↑↑3↑↑3 … … … … 3↑↑3↑↑3↑↑(3↑↑3↑↑3) =
      3↑↑3↑↑3↑↑3↑↑3↑↑3 … … … … 3↑↑3↑↑3↑↑(3↑↑↑3) =
      3↑↑3↑↑3↑↑3↑↑3↑↑3 … … … … 3↑↑3↑↑3↑↑(3↑↑7.625.597.484.987) =
      dicho de otra forma =
      3↑↑3↑↑3↑↑3↑↑3↑↑3 … … … … 3↑↑3↑↑3↑↑(torre de 7.625.597.484.987 treses) =
      cogiendo un cuarto tres seria
      3↑↑3↑↑3↑↑3↑↑3↑↑3 … … … … 3↑↑3↑↑{3↑↑(torre de 7.625.597.484.987 treses)} =
      3↑↑3↑↑3↑↑3↑↑3↑↑3 … … … … 3↑↑3↑↑{3↑3↑3 … … … … 3↑3↑3} =
      3↑↑3↑↑3↑↑3↑↑3↑↑3 … … … … 3↑↑3↑↑{3↑3↑3 … … (donde el numero 3 aparece aqui {3↑↑7.625.597.484.987} veces) … … 3↑3↑3} .
      ese ultimo corchete {3↑3↑3 … … (donde el numero 3 aparece aqui {3↑↑7.625.597.484.987} veces) … … 3↑3↑3} seria = ….{3↑↑3↑↑3↑↑3} de los primeros 4 treses de la serie de doble flechas ( que ademas equivaldrían a 3↑↑3↑↑3↑↑3=3↑↑↑4 )
      nota: ojo con el este paréntesis/corchete {3↑3↑3 … … (donde el numero 3 aparece aqui {3↑↑7.625.597.484.987} veces) … … 3↑3↑3} = que es mucho mas que {3↑3↑3 … … (donde el numero 3 aparece aqui 7.625.597.484.987 veces) … … 3↑3↑3} y aun, mucho mas que {3↑3↑3 … … (donde el numero 3 aparece aqui {3↑7.625.597.484.987} veces) … … 3↑3↑3}

      ni que decir de coger el quinto tres,
      3↑↑3↑↑3↑↑3↑↑3↑↑3 … … … … 3↑↑[3↑↑{3↑3↑3 … … (donde el numero 3 aparece aqui {3↑↑7.625.597.484.987} veces) … … 3↑3↑3}], el cual me niego a desarrollar,
      ni que decir de coger el 6to tres, el 7mo tres, el 8avo tres, … … …, hasta el último tres de la serie original de dobles flechas (3↑↑3↑↑3↑↑3↑↑3↑↑3 … … … 3↑↑3↑↑3↑↑3↑↑3↑↑3) .
      y eso seria solo g1 = 3↑↑↑↑3 = 3↑↑↑(3↑↑↑3) = 3↑↑↑(3↑↑7.625.597.484.987) =
      3↑↑3↑↑3↑↑3↑↑3↑↑3 … … … 3↑↑3↑↑3↑↑3↑↑3↑↑3 (donde el numero 3 aparece {3↑↑7.625.597.484.987} veces)
      Bien, la vaina se complica con g2
      g2= 3↑↑ … … … … … … ↑↑3
      donde hay g1 flechas!!!
      ni que decir de g3, g4, …, g64 !!!!
      VER es.wikipedia.org//wiki/Número_de_Graham
      aritméticamente hablando, ya puedo descansar en paz.

      • ferchosan6 dijo:

        fe de erratas
        veamos algo mas:
        3↑↑3= torre de 2 treses (3 a la 3) = 27 NO
        en realidad:
        3↑↑2= torre de 2 treses (3 a la 3) = 27

    • ferchosan6 dijo:

      (Sres del blog, borren por favor, mis respuestas anteriores a ivan tchakoff, aqui va la respuesta corregida:)
      otro error:
      al decir que
      a) 3↑3 = 3.3.3 = 27
      b) 3↑↑3 = 3↑(3↑3)=3(e 27) = 7.625.597.484.987
      c) 3↑↑↑3= 3↑↑3↑↑3 = 3(e 7.625.597.484.987) = A UN NÚMERO FUERA DE ESCALA.
      no se qué quiere decir con la letra e. Pero si quiere decir “elevado a la” como se deduce del ítem b, {3(e 27) = 7.625.597.484.987}, entonces, en el ítem c está equivocado porque 3↑↑↑3 sería = a 3↑↑4 (3↑7.625.597.484.987) lo cual no es cierto.
      En realidad 3↑↑↑3= 3↑↑3↑↑3= 3↑↑(3↑↑3)=3↑↑7.625.597.484.987
      que es diferente a 3↑7.625.597.484.987 (3 elevado a la potencia 7.625.597.484.987 que a su vez es lo mismo que 3↑↑4).
      si el símbolo e quiere decir otra cosa, entonces la equivocación está en el ítem b
      veamos algo mas:
      A.sigamos una serie de dobles flechas hasta llegar a 3↑↑7.625.597.484.987:
      3↑↑2= torre de 2 treses (3 a la 3) = (3↑3) =27
      3↑↑3= torre de 3 treses (3 a la 3 a la 3) = (3↑3↑3) = 3 a la 27 = 7.625.597.484.987
      3↑↑4= torre de 4 treses (3 a la 3 a la 3 a la 3) = 3 ↑(3↑27) = 3 ala 7.625.597.484.987 = 3↑7.625.597.484.987, qué es un poco más de 10 elevado a la 3.638.334.640.024 ( un 1 seguido de más de 3,6 billones de dígitos; para escribirlo, a la velocidad de 10 dígitos por segundo, tardaríamos más de 11.537 años!) un número verdaderamente monstruoso.
      3↑↑5 = torre de 5 treses (3↑3↑3↑3↑3) = (3↑(el monstruoso número anterior)) el cual para escribirlo no nos alcanzaría este universo, ni inimaginables universos mas!
      a partir de aqui ningún epíteto sirve y los números son (verdaderamente) inimaginablemente grandes (3↑↑6)!!
      Ni que decir de 3↑↑7, 3↑↑8, 3↑↑9, … y así sucesivamente hasta llegar a…
      3↑↑7.625.597.484.987= torre de 7.625.597.484.987 treses = (3↑3↑3 … * … 3↑3↑3)
      …que es solo tres flechitas 3↑↑↑3, (3↑↑↑3=3↑↑3↑↑3=3↑↑(3↑↑3)= 3↑↑7.625.597.484.987), con lo cual vemos el poder (por llamarlo de alguna manera), de aumentar una simple flechita!!
      B. para seguir, utilicemos la siguientes tres abreviaturas:
      … * … : “donde el número tres está aqui 7.625.597.484.987 de veces”
      … ** … : “donde el número tres está aqui 3↑7.625.597.484.987 de veces”
      … *** … : “donde el número tres está aqui 3↑↑7.625.597.484.987 de veces”
      ojo!, que son números muy diferentes, (pre-digerirlo antes de seguir)
      C. ahora g1 es con cuatro flechitas: 3↑↑↑↑3 = 3↑↑↑(3↑↑↑3) = 3↑↑↑(3↑↑7.625.597.484.987) = una serie 3↑↑3↑↑3↑↑3↑↑3↑↑3 … … … 3↑↑3↑↑3↑↑3↑↑3↑↑3 donde el número 3 aparece aqui 3↑↑7.625.597.484.987 veces!!
      con las abreviaturas g1 = 3↑↑3↑↑3↑↑3↑↑3↑↑3 … *** … 3↑↑3↑↑3↑↑3↑↑3↑↑3.
      D. ahora si, metamosle el diente a g1:
      g1 = 3↑↑3↑↑3↑↑3↑↑3↑↑3 … *** … 3↑↑3↑↑3↑↑3↑↑3↑↑3 =
      , solo ocupándose de los 3 últimos tres =
      3↑↑3↑↑3↑↑3↑↑3↑↑3 … *** … 3↑↑3↑↑3↑↑(3↑↑3↑↑3) =
      (, y ya que 3↑↑↑3= 3↑↑3↑↑3,) =
      3↑↑3↑↑3↑↑3↑↑3↑↑3 … *** … 3↑↑3↑↑3↑↑(3↑↑↑3) =
      3↑↑3↑↑3↑↑3↑↑3↑↑3 … *** … 3↑↑3↑↑3↑↑(3↑↑7.625.597.484.987) =
      , cogiendo un cuarto tres seria, =
      3↑↑3↑↑3↑↑3↑↑3↑↑3 … *** … 3↑↑3↑↑{3↑↑(3↑↑7.625.597.484.987)} =
      3↑↑3↑↑3↑↑3↑↑3↑↑3 … *** … 3↑↑3↑↑{3↑3↑3 … *** … 3↑3↑3} =

      este último corchete {3↑3↑3 … *** … 3↑3↑3} sería = ….{3↑↑3↑↑3↑↑3} de los últimos 4 treses de la serie de doble flechas.
      nótese que este último corchete {3↑3↑3 … *** … 3↑3↑3} es mucho más que {3↑3↑3 … ** … 3↑3↑3} el cual a su vez es mucho más que {3↑3↑3 … * … 3↑3↑3 = 3↑↑7.625.597.484.987 }
      confundido?

      sigamos, cojamos el quinto tres, g1=
      3↑↑3↑↑3↑↑3↑↑3↑↑3 … *** … 3↑↑[3↑↑{3↑3↑3 … *** … 3↑3↑3}], el cual me niego a desarrollar.
      ni que decir de coger el 6to tres, el 7mo tres, el 8avo tres, … … …, hasta el primer tres de la serie original de dobles flechas (3↑↑3↑↑3↑↑3↑↑3↑↑3 … *** … 3↑↑3↑↑3↑↑3↑↑3↑↑3).
      y eso seria solo g1 = 3↑↑↑↑3 = 3↑↑3↑↑3↑↑3↑↑3↑↑3 … *** … 3↑↑3↑↑3↑↑3↑↑3↑↑3.
      E. Bien, la vaina se complica con g2
      g2= 3↑↑ … … … … … … ↑↑3
      donde hay g1 flechas!!! … … … ….g1 flechas.. g1 flechas! … …g1 flechas?

      y g3= 3↑↑ … … … … … … ↑↑3
      ..donde hay g2 flechas!!! … … como diantres llegue aqui??

      ni que decir de g4, g5, …, g64 !!!!
      VER es.wikipedia.org//wiki/Número_de_Graham
      aritméticamente hablando, (¿ahora si?) ya puedo descansar en paz!

  4. anonimo dijo:

    se me ocurrió algo: g
    número de Graham

  5. Anónimo dijo:

    calcula este g numero de graham dentro de un poligono de g numero de graham lados

  6. ferchosan6 dijo:

    Entendiendo??? el numero de Graham con escaleras
    A. notación de flechas de Knuth con ejemplos:
    flecha sencilla (potenciacion)
    2↑5=2 ala 5 = 2 elevado a la 5 = 2x2x2x2x2 = 2x … x2 donde el 2 aparece aquí 5 veces = 32
    3↑3 = 3^3 = 27
    3↑4 = 81

    flecha doble (escalera – tetracion – es.wikipedia.org/wiki//Tetración )
    3↑↑4 = 3↑3↑3↑3 = 3↑ … ↑3 donde el tres aparece aquí 4 veces = escalera de cuatro treses =
    3↑↑4 = 3↑3↑3↑3 = 3↑[3{↑(3↑3)}] donde los paréntesis indican el orden para operar =
    3↑↑4 = 3↑[3↑(3↑3)] = 3↑[3↑(27)] = 3↑[3↑27] = 3↑[7.625.597.484.987]
    3↑↑4 = 3↑7.625.597.484.987 = 3 ^7.625.597.484.987,
    qué es un poco más de 10^3.638.334.640.024 ( un 1 seguido de más de 3,6 billones de dígitos; para escribirlo, a la velocidad de 10 dígitos por segundo, tardaríamos más de 11.537 años!) un número verdaderamente monstruoso. numero de digitos : mas de 3,6 billones.
    (gugol, dígitos: 101 ; gugolplex, dígitos: (10^100)+1 ; (2^64) – 1, dígitos:20)

    2↑↑5= torre de cinco doses = 2↑2↑2↑2↑2 = 2↑2↑2↑4 = 2↑2↑16 = 2↑65536
    veámoslo, abordandolo en forma de escalera de dobles flechas:
    2↑↑5:
    2↑↑1 = 2
    2↑↑2 = 2↑2 = 4
    2↑↑3 = 2↑4 = 16
    2↑↑n = 2↑resultado anterior = 2↑(2↑↑n-1)
    2↑↑4 = 2↑16 = 65536
    2↑↑5 = 2↑65536 = del orden de 10^19728, digitos: 19729
    numero de escalones : 5
    aqui vemos el poder de aumentar una flecha
    2↑5=32, dígitos: 2 …….. 2↑↑5=del orden de 10^19728, dígitos: 19729

    B. abordando el numero de Graham con escaleras de dobles y triples flechas
    ****3↑↑3 tetracion****
    ESCALERA UNO 3↑↑3:
    3↑↑1 = 3
    3↑↑2 = 3↑3 = 27
    3↑↑3 = 3↑27 = 7625597484987, digitos:13
    numero de escalones : 3 FIN escalera UNO

    ****3↑↑↑3 pentación****
    ESCALERA DOS 3↑↑↑3 = 3↑↑(3↑↑3) = 3↑↑7625597484987:
    3↑↑1 = 3
    3↑↑2 = 3↑3 = 27
    3↑↑3 = 3↑27 = 7625597484987
    3↑↑4 = 3↑7625597484987 = qué es un poco más de 10 elevado a la 3.638.334.640.024 ( un 1 seguido de más de 3,6 billones de dígitos; para escribirlo, a la velocidad de 10 dígitos por segundo, tardaríamos más de 11.537 años!) un número verdaderamente monstruoso.
    3↑↑5 = 3 elevado al mounstruoso numero anterior, (3↑(el monstruoso número anterior)) , el cual para escribirlo no nos alcanzaría este universo, ni inimaginables universos mas!
    a partir de aqui ningún epíteto sirve y los números son (verdaderamente) inimaginablemente grandes!!
    (3↑↑6) = 3 elevado al cada vez mas mounstruoso numero anterior = 3↑(3↑↑5)
    3↑↑7 = ?? y así sucesivamente..
    3↑↑8 = ?? ( = torre de ocho treses en potenciación uno encima de otro) = 3↑3↑3↑3↑3↑3↑3↑3
    3↑↑9 = ??…
    …..
    …..
    …..
    3↑↑7625597484984 = ??
    3↑↑7625597484985 = 3 elevado al cada vez mas ?? numero anterior = 3↑(3↑↑7625597484984)
    3↑↑7625597484986 = ??
    3↑↑7625597484987 = ?? = 3↑↑↑3 digitos: no hay forma de saberlo
    numero de escalones : 7625597484987 FIN escalera DOS

    Hay que predigerirlo con calma: 3↑↑↑3 = = 3↑↑(3↑↑3) = 3↑↑7625597484987 = ??
    3↑↑↑3 es equivalente a este ultimo numero de una escalera de mas de 7,6 billones de escalones, donde el 5to escalon ya era un numero indescriptiblemente grande.

    ****3↑↑↑↑3 (hexacion:)****
    3↑↑↑↑3 = 3↑↑↑(3↑↑↑3) = 3↑↑↑(3↑↑7625597484987) tendriamos que abordarlo como una
    escalera de TRIPLE flecha con un increíble numero de pasos (3↑↑7625597484987):
    ESCALERA TRES descriptiva
    3↑↑↑(1)
    3↑↑↑(2)
    3↑↑↑(3)

    ….
    3↑↑↑(7625597484987)


    ….

    ….
    3↑↑↑(3↑7625597484987)

    ….
    ….
    …..
    ….
    …..
    ….
    …..
    3↑↑↑(3↑↑7625597484987)
    numero de pasos: 3↑↑7625597484987 (FIN escalera TRES descriptiva)
    la anterior escalera equivale a
    3↑↑↑↑3 = 3↑↑↑(3↑↑↑3) = 3↑↑↑(3↑↑7625597484987) de tres flechas se degrada a 2 flechas tantas veces como dicta el numero de la derecha
    = 3↑↑3↑↑ … …. …. ↑↑3↑↑3↑↑3 donde el numero tres aparece aqui 3↑↑7625597484987 veces!
    hay que digerir con calma esto ultimo.
    para operarlo hay que empezar por los dos ultimos tres, después el siguiente…
    = 3↑↑3↑↑ … …. …. ↑↑3↑↑3↑↑(3)
    = 3↑↑3↑↑ … …. …. ↑↑3↑↑(3↑↑(3))
    = 3↑↑3↑↑ … …. …. ↑↑(3↑↑(3↑↑(3)))
    ….
    ….
    y asì sucesivamente, donde, para abordarlo en forma de escalera se tendría que digerir que,
    uno: aumenta el numero de pasos, ni 3, ni 7625597484987, si no 3↑↑7625597484987 pasos!!
    dos: cada paso opera con el resultado del anterior, pero en doble flecha, no en flecha sencilla.
    (3)
    (3↑↑(3))
    (3↑↑(3↑↑(3)))
    (3↑↑(resultado anterior)
    …..
    y asi sucesivamente hasta completar 3↑↑7625597484987 pasos (o escalones)
    …y, tres: observar que esto se corresponde con la escalera de triple flecha anterior
    3↑↑↑↑3
    3↑↑↑↑3 = 3↑↑↑(3↑↑↑3) = 3↑↑↑(3↑↑7625597484987) =
    = 3↑↑3↑↑ … …. .↑↑3↑↑3 donde el numero tres aparece aqui 3↑↑7625597484987 veces!
    ESCALERA TRES NUEVAMENTE
    3↑↑↑(1) = (3) = 3
    3↑↑↑(2) = (3↑↑(3)) = 3↑3↑3 = 7625597484987
    3↑↑↑(3) = (3↑↑(3↑↑(3))) = (3↑↑7625597484987) = (VER ESCALERA DOS)
    3↑↑↑(4) = (3↑↑(inimaginable resultado anterior) = ¡PLOP!
    3↑↑↑(5) = (3↑↑(resultado anterior) =
    3↑↑↑(6) = (3↑↑(resultado anterior) =

    ….
    3↑↑↑(7625597484987) =


    …. …. ….

    ….
    3↑↑↑(3↑7625597484987) *en algún momento se llega a este paso (ver en escalera dos el paso 4)
    y se sigue derecho porque todavía se está muy lejos del final
    ….
    ….
    ….. …. …..
    …. …… ….
    ….. …. ….
    ….
    …..
    3↑↑↑(3↑↑7625597484987) = 3↑↑↑↑3
    número de pasos o escalones: 3↑↑7625597484987 – FIN escalera TRES nuevamente
    Observemos que:
    El número de pasos aumenta demasiado: ni 3, ni 7625597484987, ni 3↑7625597484987, si no un numero que esta en otro orden de cosas; (3↑↑7625597484987) ¡solo el número de pasos!
    La cantidad aumenta paso tras paso en forma mucho más desmesurada que nunca: tan solo en el paso tres se cubre la cantidad total de la escalera DOS, la cual a su vez teniendo 7.625.597.484.987 escalones, aumenta tan rápidamente, que ya en su quinto paso se acaban los adjetivos para describir lo enorme de la cantidad que sigue(el escalón seis), ni que decir de llegar al final de esa escalera DOS.

    y aqui la cosa se pone mas interesante, (desde el punto de vista descriptivo, porque de seguirle el paso a las cantidades, eso se pierde entre el paso 3 y el 7 de la escalera DOS – dependiendo de la persona.).
    Y se pone interesante porque en el siguiente paso ya no aumenta una flecha, 3↑↑↑↑↑3, si no muchisimas mas.
    C. numero de graham con escalera CUATRO con otra clase de pasos (escalones)

    para describir el número de graham se construye una escalera de simples 64 pasitos. pero en cada “pasito” se avanza ya no de a una sola flecha ( lo que ya de por si sería mas que desproporcionado),
    sino de a increíblemente muchas flechas, veamos:

    ****numero de graham G=g64****
    ESCALERA CUATRO
    g1 = 3↑↑↑↑3 ( *escalera TRES)
    g2= 3↑↑ … … … … … … … ↑↑3
    donde hay g1 flechas!!! … … … ….g1 flechas.. g1 flechas! … …g1 flechas?

    g3= 3↑↑ … … … … … … … ↑↑3
    ..donde hay g2 flechas!!! … como diantres llegue aqui?? como diantres siguió Graham?

    ni que decir de
    g4,
    g5,


    ….
    g32= 3↑↑ … … … … … … … ↑↑3
    ..donde hay g31 flechas
    …..
    …..
    …..
    g64 !!!! valla que lo lamba un burro!!!!
    numero de escaloncitos: 64 FIN escalera CUATRO

  7. ferchosan6 dijo:

    Eso demuestra la enormidad incomprensible del numero de graham = G = g64
    para aproximarse hay que leer primero otros artículos y entender la notación de flechas de Knuth. Ver ademas es.wikipedia.org//wiki/Número_de_Graham; aun asi en ningun articulo tratan de desarrollarlo, no me refiro a la serie g1…g64, sino al desarrollo de g1=3↑↑↑↑3; bueno, no desarrollarlo, si no describir su desarrollo. Eso fue lo que trate de hacer en los comentarios anteriores que unidos forman uno solo.
    Adicional, no se va a entender a la primera ni segunda: toca coger lápiz y papel y tratar de desarrollar g1=3↑↑↑↑3. (primero habiendo leído los otros artículos).
    Al tratar de desarrollar tan solo 3↑↑↑3 que es solo una parte de g1 uno se da cuenta que es una torre de tres elevado a la 3 elevado a la 3 elevado a la 3… y así sucesivamente más de 7,6 billones de veces…
    así que en los dos anteriores comentarios, trate de describir su desarrollo como una escalera (escalera DOS), donde cada resultado depende del anterior.y si uno digiere que pasa en los pasos o escalones 4, 5 y 6, entonces se dará cuenta de que no se puede ni siquiera imaginar lo que pasa en el escalón 7 billones ni mucho menos en el último.
    Ni que decir de la escalera TRES!
    ___________________________________
    ….me di cuenta que desarrollando esto en forma de escalera se podría entender (??) mejor. Es decir entender que después de los escalones 4, 5, 6 y 7 de la escalera DOS, la enormidad del numero se vuelve incomprensible: ni que decir después de mas de 7 billones de pasos para completar esta escalera DOS. ni que decir de la escalera tres que tiene muchos, pero muchos, muchos, mas pasos y crece de paso a paso mucho, pero mucho mas rápido, ni de la escalera cuatro, que contiene solo 64 escalones, pero del uno al otro crece infinitamente mas rapido, por que se mete con el numero de flechas…).
    Entender que no se puede entender, apenas tratar de describir.
    Repito toca leer varios artículos y coger lápiz y papel! Aun así los interrogantes -??- del verbo entender no son accidentales.
    __
    __
    anónimo:
    gugolduplex, dígitos (10^10^100)+1; muchos mas que.. los del numero de leviatan, digitos: mas de 10^668 (lo dice en el articulo de rafa,elillo).

  8. ferchosan6 dijo:

    ver el video del anterior comentario: ¿Cuál es el número más grande?
    de Explora tu Mundo en YouTube
    y leer http://gaussianos.com/monstruos-numericos/
    …la cantidad de treses que obtenemos en la torre de exponentes de G escapa totalmente a cualquier concepción humana …..

    Es mucho más que eso. Si 3↑↑↑3 que es una torre de mas de 7.6 billones de treses uno sobre el otro (3 ala 3 la 3 ala 3 … ala 3 ala 3 mas de 7,6 billones de veces) y ya en el cuarto y quinto tres va asi :
    3↑↑4 = 3↑7625597484987 = qué es un poco más de 10 elevado a la 3.638.334.640.024 ( un 1 seguido de más de 3,6 billones de dígitos; para escribirlo, a la velocidad de 10 dígitos por segundo, tardaríamos más de 11.537 años!) un número verdaderamente monstruoso.
    3↑↑5 = 3 elevado al mounstruoso numero anterior, (3↑(el monstruoso número anterior)) , el cual para escribirlo no nos alcanzaría este universo, ni inimaginables universos mas!
    a partir de aqui ningún epíteto sirve y los números son (verdaderamente) inimaginablemente grandes,
    seguirán 3↑↑6, 3↑↑7, 3↑↑8 … … …
    ni que decir de llegar al 3 de la base o sea al 3↑↑7.625.597.484.987 ),
    pero en fin, al representarlo como torre de treses, se tendría que escribir un tres sobre otro y sobre otro, etc mas de 7.6 billones de veces – para ver el tamaño de la torre reto a cualquiera a que genere, no en físico, sino electrónicamente un archivo de más de 7 billones de dígitos -; pero en fin , supongamos que este número se puede imaginar y su valor es x.
    pues solo para g1 = 3↑↑↑↑3 se tienen que seguir x pasos,
    el primer paso arroja simplemente el numero 3 como su valor
    el 2do paso es una escalera de 3 treses (3↑3↑3) que arroja al ya famoso 7.625.597.484.987 como su valor
    en el paso n construimos una torre de tantos tres como diga el valor arrojado en el paso anterior
    o sea en el paso 3ro construimos una torre de 7.625.597.484.987 de treses; el valor que arroja este paso ya lo habíamos comentado en los primeros párrafos y lo nombramos como x y es un número inimaginablemente grande (vuelva por favor a leer esa descripción de 3↑↑↑3=x).
    y solo vamos en el paso 3ro.
    en el paso 4to construimos una torre de x treses, uno sobre el otro,
    solo para escribir esta expresión en forma de torres de exponentes no nos alcanzaría ni este universo, ni imaginables universos más, ni siquiera en forma digital, porque el número de bits no alcanzaria.
    y solo vamos en el paso 4to
    el valor que arroja este paso es ya fuera de toda descripción, llamemoslo z.
    para el paso 5to construimos una torre de treses donde haya z treses, uno sobre el otro.
    aqui ya no tiene sentido seguir desde el punto de vista numérico;
    solo su seguimiento es meramente descriptivo.
    seguirán el paso 6to, 7mo, …. hasta el paso número x,
    ojo no estoy diciendo hasta el paso googol, googolplex, gugolduplex, gugoltriplex, etc etc etc, sino hasta el paso x,
    de una serie de pasos que crece tan rápido que ya en su 3er paso era inimaginable.
    ni que decir del valor que arrojaría este ultimo paso numero x,
    y ese seria g1.entonces la expresión del articulo : “…… la cantidad de treses que obtenemos en la torre de exponentes de G escapa totalmente a cualquier concepción humana ……
    seria ya aplicable en g1, no hace falta llegar ni siquiera a g2,
    mucho menos a g64=G

    ver comentarios en
    http://elmundoderafalillo.blogspot.com.co/2011/02/numeros-cerca-del-infinito.html

    • Bobby1845 dijo:

      Oye ferchosan6 dime cual de estos números sería mayor
      1) El número que mencionaste: el graham encadenado: g(g(g(…(g(g(g64) apareciendo la g, número de graham veces
      2) ARBOL(3) No lo entiendo muy bien, dicen que parte del teorema de arbol de kruskal. Solo se que ARBOL(1) = 1, ARBOL(2) = 3, ARBOL(3) = mucho mayor al numero de graham

      • ferchosan6 dijo:

        Fe de rratas: En la orto, ni te fijes.
        Estudiar el teorema del viejo Kruski seria demasiado denso para mi. Lo que si se es que todo parte de la recursividad en la definicion de las operaciones cuando nesesito numeros mas grandes: si una suma no me vasta, defino la multiplicacion como una suma repetida, y si eso no me vasta, la potenciacion, despues tetracion (4cion), etc. pero si una n-cion con n grande no me vasta? eso fue lo q le paso a mi viejo Grahi; entonces la n la definicio con una serie gsub1…gsub64 empezado gsub1 con hecx-acion (4flechitas de nukt, el numero de flechitas define que hiper-operacion es). Eso partiendo de operandos 3 y 3 da un numero (G=g64, el numero de graham), que bien lo podemos llamar El-Siempre-Subvalorado. (creo que empezare un blog con este tema). Pero si no nos alcanza? lo que podemos hacer es definir, por ejemplo, recursivamente (de diferentes maneras) el n de la serie gsub1…gsub64. entonces podemos definir a gsub(gsub64)= gsubGraham como gsupra2 y asi susesivamente g(g(g64) gsupra3 y asi podemos llegar hasta gsupraGraham=gsupra(gsub64) el que tu llamas Graham encadenado, (aqui nuevamente tenemos dos g y podriamos empezar con un nuevo nivel de recursividad).
        1. Como una devil cota inferior del numero ARBOL(3) dan A(A(187196)oper1 que es mucho mayor G=g64=A(64)oper4 y apostaria que mayor aun que g(g(64)=gsupra2, pero menor que gsupra3. Ahora bien, no seria extraño que la minima cota superior fuera mayor a gsupraGraham y tambien hay la posibibilad de que en si ARBOL(3), fuera mayor que este Graham encadenado gsupraGraham. Pero si no es asi ARBOL(4), con seguridad si.
        2. Para ganarle supradefinamos una serie asi: gsupraGraham=PapadeGraham, g supraPapadeG=AbuelodeG, gsupraAbu/elo/deG=bisAbu/elo/deG = 2eloG, …hasta que llegemos a Graham/elo/deG, donde si lo notas hay dos G, entonses Graham/elo/G=G/elo/(2) = ELO(2). Asi tal vez esta funcion ELO(n) creseria mas rapido que la funcion ARBOL(n). No se?!
        3. Ahora miremos la potencia de la serie g1…g64,g65…. (Donde G=g64 es el numero de Graham=G). Imaginate un numero c = G elevado a la G, varias veces, digamos…G veces (si: c= Graham a la Graham, Graham veces !!) c2= c ala c, c veces, c3= c2 ala c2, c2 veces … y eso lo hacemos c veces hasta llegar a cc. ahoras digamos que cc = 2-c y comenzemos de nuevo: 2-c(2) = 2-c elevado a la 2-c, 2-c veces, seguiria 2-c3… …haciendolo 2-c veces llegaremos hasta 2-c(2-c) … a ese numero llameslo 3-c, repitamoscon 3-c lo mismo, despues con 4-c …5-c … y asi susesivamente cc veces.. llegariamos así a cc-c = C. Pues bien, g65 es mucho mayor que este numero C. que como lo se? por que el proceso que describi se limita a torres de exponentes (G a la G, G veces) dispara (hiper-opera ) UNAhiper: de c a 2-c, DOShiper de 2-c a cc-c. Dos simples flechas de nukt mas arriba que g64, en cambio g65 esta casi g64 flechas de nukt mas arriba que g64 !!!
        4. No hace falta llegar tan lejos, con el numero de Graham, basta y sobra: en un infraUniverso magico, un malvado enano que construye cualquie torre en menos de dos cronones (1 s = 5×10˄44 cronones ) porque el pimer piso lo hacia en 1 cronon y en los suiguientes se gastaba la mitad de tiempo que en el anterior (ya lo se que no puede haber tiempo menor a 1 cronon, pero magic world is magic world) empieza a construir una torre para ganarse en matrimonio a la unica joven inosc-ente en ese Uuniverso. pero tiene condiciones. tiene que desocupar una matebolamagic que contiene el numero de Graham, por el primer ladrillo que ponga la bola pierde un gugolplex. por el segundo, un gugolduplex, x el 3ro ungugoltriplex, por el 4to un gugolcuadrulex y asi susesivamente. en cada piso deve gastar a lo mucho un millon de ladrillos. por las condiciones no se le consedera que cada piso lo haga en la mitad del tiempo que el anterior pero si asi: el primero en 1/2 (medio) crono, sig en 1/3 de crono, sig en 1/5 de crono, 1/7 de cr, 1/11 de cr, 1/13de cr, 1/17 de cr y asi susesivamente cada uno mas rapido que el anterior siguiendo los inversos de los numeros primos. Al mismo tiempo en un supraUmagic (“el cielo”) al unico joven inosc de ese subU se le concedio la posibilidad de salvarla del enano y que se casara con el, (que no lo sabia, pero era un principe) y vivieran x siempre felices en el cielo así: convertido en un gusano al pricipio de una rama debia alcanzar el fruto que estaba a la distancia del sol de ese supraUmagic (150 millones de Km). El gusano avanzaba a la velocidad de 1 cm por dia (12 horas diurnas= 1/2 cm). cada mili segundo la rama se estiraba uniformemente otros 150 millones de km de manera uniforme bajo el gusano (uniforme significa que el insignificantemente miserable porcentaje de avance ganado cada mili segundo, el gusanito lo conservaba). en la noche el gusanito paraba para dormr (12horas) y la rama solo se estiraba una vez mas al dejar de andar el gusanito y otra vez mas antes de comenzar su marcha por la mañana. Si el principe gusanito en el supraU podia llegar al fruto antes que el enano desocupara la matemagic(graham)bola, ganaria. si no desaparecia= dejaba de existir. y la princesa (que tampoco lo sabia, pero es nuestra inosc-ente) sabria, ahora si, lo que es el infierno, por toda una eternidad. Me falto decir que mientras pasa un segundo aqui en la tierra (magicTerra), pasan un gugol de años en el subU y mientras pasa un segundo en el supraU-cielo pasa un gugol de años aqui en la tierra, asi que el enano en el primer dia en el cielo del gusanito, ya tendria uff!! de años, siglos, milenios, eras, construyendo su torre, es decir desocupando la matemagicbola ladrillo a ladrillo. …Me hace falta decirlo? …
        .
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        ta bueno, lo dire: !!! vivieron felices y comieron perdices !!!

  9. ferchosan6 dijo:

    Ademas de la orrografia, otra fe de supra-e-rratas: el punto 2. debio quedar asi:
    2. Para ganarle supradefinamos una serie asi: gsupraGraham=Papa/elo/deGraham, g supraPapa/elo/deG=Abu/elo/deG, Papa/elo/deGrahamsupraAbu/elo/deG=bisAbu/elo/deG = 2eloG, Abu/elo/deGrahamsuprabisAbu/elo/deG=tataraAbu/elo/deG = 3eloG …hasta que llegemos a Graham/elo/deG, donde si lo notas hay dos G, entonses este Graham/elo/G= G/ELO/(2) = ELO(2) (ELO, elo con mayusculas). Asi tal vez esta funcion ELO(n) creceria mas rapido que la funcion ARBOL(n). No se?!

  10. ferchosan6 dijo:

    cambie un poco el cuento en zurditorium:
    Que tal Zurdit, (alias ˂˂chorradillo??!!˃˃, jajá -es que no me imagino a nadie de Cartagena utilizando estas palabras-, bueno… de Cartagena Colombia. ¿La conoces?, sino, vengase paca, no se arrepentirá! -Si tranquis, ya sé que eres de la madre P)
    Ahora si, en serio, porque no regresas analizando este MATEMAGICRETO que aprovechado tu artículo de la oruga y el árbol (http://www.zurditorium.com/la-oruga-y-el-arbol-magico-la-serie-armonica), invente para denotar exageradamente la inconcebilidad del número de Graham, que veo que algunos no terminan de entender. He aquí un miniresumen del cuento (el reto seria ¿vivieron felices y comieron perdices?):
    Tras muchas negociones, tira y aflojes, se encuentran dos compitiendo por una: En un infraUniverso o subU mágico (infernal?), un malvado enano que construye normalmente cualquier torre en menos de dos cronones (1 seg = 18.5 septillones (1.85*10^43) de cronones -en números redondos (1día =24h, 1año=365d, etc.) como todo en este cuento- que por bobaditas no nos vamos a poner a pelear), porque el primer piso lo hacía en 1 cronon y en los siguientes se gastaba la mitad de tiempo que en el anterior (ya lo sé que no puede haber tiempo menor a 1 cronon, pero magic world is magic world), empieza a construir una torre (con una endiablada energía, ¡sin parar!), para ganarse en matrimonio a la única joven inosc-ente en ese U (niverso). Pero tiene condiciones.: Tiene que desocupar una matemagicbola que contiene el número de Graham, por el primer ladrillo que ponga, la bola pierde un gugolplex, por el segundo un gugolduplex, x el 3ro un gugoltriplex, por el 4to un gugolcuadruplex y así sucesivamente. En cada piso gasta un millón de ladrillos. Al seguir con cada piso, la cuenta o número que se descuenta de la matemagicgrahambola sigue aumentando cada vez más por cada ladrillo, (10^al-ladrillo-anteior). Por las condiciones no se le concede que cada piso lo haga en la mitad del tiempo que el anterior, pero si así: el primero en 1/2 (medio) cronon, sig en 1/3 de cronon, sig. en 1/5 de cronon, 1/7 de cr, 1/11 de cr, 1/13 de cr, 1/17 de cr, y así sucesivamente cada uno más rápido que el anterior siguiendo los inversos de los números primos. Al mismo tiempo en un supraUmagic (“el cielo”??) al único joven inosc-e de ese subU se le concedió la posibilidad de salvarla del enano y que se casara con el joven, (que no lo sabía, pero era un príncipe) y vivieran x siempre felices en el cielo; así: convertido en un gusano al principio de una rama debía alcanzar el fruto que estaba a la distancia del diámetro local de ese supraUmagic (30mil millones de años luz = longitud inicial = Li). El gusano avanzaba a la velocidad de 1 cm por día (12 horas diurnas = 1/2 cm). Al empezar su recorrido (antes de empezar) y al empezar cada cronon de su recorrido (o sea 20 septillones de veces por seg) la magicrama se estiraba de manera instantánea cada vez más: la primera vez (antes de que el gusanito iniciara siquiera a caminar) quedo midiendo 2 veces su longitud inicial (2 Li), un cronon después 3 Li, 5Li, 7Li, 11Li, 13 Li, 17Li, y así sucesivamente cada vez más (cada vez su longitud total se correspondía con el siguiente número primo de veces su longitud inicial). La rama aumentaba su longitud de manera uniforme bajo el gusano (uniforme significa que el cada vez más insignificantemente miserable porcentaje de avance ganado cada cronon, el gusanito lo conservaba). En la noche el gusanito paraba para descansar y dormir (12horas) y la rama se quedaba quieta al dejar de andar el gusanito y otra vez comenzaba a estirarse antes de comenzar su marcha el gusanito cada mañana. Si el príncipe gusanito en el supra U podía llegar al fruto antes que el enano desocupara la matemagicgrahambola, ganaría y vivirían felices x siempre en el supraU. Si no, desaparecería= dejaba de existir, y nuestra inosc-ente (que tampoco lo sabía, pero también era una princesa), sabría, ahora sí, lo que es el infierno, (por toda una eternidad). Me falto decir que mientras pasa un cronon aquí en la tierra (magicTerra), pasan un gugol de años en el subU y mientras pasa un cronon en el supraU pasa un gugol de años aquí en la Terra, así que el enano, en el primer segundo en el cielo del gusanito, ya tendría uff-recontrarequeté-uff!! de años, siglos, milenios, eras, construyendo su torre, es decir desocupando la matemagicbola ladrillo a ladrillo. ¿Me hace falta decirlo? Vivieron felices!! Bueno en realidad yo no lo sé, (no sé quien ganara), pero apostaría mi virginidad a un final feliz!!!

  11. ferchosan6 dijo:

    Fé de e: donde dice (o sea 20 septillones de veces por seg) debe decir (o sea 18.5 septillones de veces por seg).

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