Conceptos de física #9: Ley de gravitación universal

En la entrada anterior hablamos de las leyes del movimiento de Newton, y para seguir esta línea vamos a hablar de ley de la gravitación de Newton. Esta ley define la fuerza de atracción entre todos los objetos que poseen masa. La fuerza de la gravedad es una de las fuerzas fundamentales de la física y ofrece una visión profunda de la forma en que nuestro universo funciona.

La gravedad mantiene a los planetas en órbitas alrededor del sol (ilustración no a escala). Fuente: wikipedia

Un poco de historia

La famosa historia de que a Newton se le ocurrió la idea de la ley de la gravedad al caerle una manzana en la cabeza no es cierta (lamento destruirle la ilusión), aunque al ver caer una manzana en la granja de su madre lo hizo interesarse en el tema. Se preguntó si las misma fuerza actuando en la manzana también actuaba en la luna. Si es así, ¿por qué caer la manzana a la Tierra y la luna no?.

Junto con sus tres leyes del movimiento, Newton también expuso su ley de la gravedad en el año 1687 en su libro Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (Principios matemáticos de filosofía natural), que es generalmente conocido como los Principia, como hemos dicho anteriormente.

Antes de Newton ya habían registros de gente que intentó entender el complejo mundo de la gravedad. Por ejemplo, Johannes Kepler (físico alemán, 1571-1630) había desarrollado tres leyes que gobiernan el movimiento de los cinco planetas hasta entonces conocidos. Él no tenía un modelo teórico de los principios que rigen este movimiento, sino más bien las estableció por ensayo y error en el transcurso de sus estudios. La obra de Newton, casi un siglo más tarde, iba a tener las leyes del movimiento que él había desarrollado y las aplicó al movimiento planetario para desarrollar un marco matemático riguroso del movimiento de los planetas.

Retrato de Kepler. Fuente: wikipedia

Las fuerzas gravitacionales

Newton llegó finalmente a la conclusión de que, de hecho, la manzana y la luna se ven influidas por la misma fuerza. La llamó fuerza de gravitación (o gravedad) ya que esta palabra se traduce significa en latín “pesadez” o “peso”.

En Principia, Newton definió la fuerza de la gravedad de la siguiente forma (traducido del latín):

Cada partícula de materia en el universo atrae a otra partícula con una fuerza que es directamente proporcional al producto de las masas de las partículas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ellas.

Expresión de la fuerza entre dos objetos. Fuente: Andrew Zimmerman Jones

Matemáticamente, esto se traduce en la ecuación de la fuerza que se muestra a la derecha. En esta ecuación, las cantidades se definen como:

Fg = La fuerza de gravedad (por lo general en newtons)

G = La constante gravitacional, que añade el nivel apropiado de proporcionalidad en la ecuación. El valor de G es 6.67259 x 10-11 N * m2 / kg2, aunque el valor va a cambiar si otras unidades (diferentes al sistema internacional) están siendo utilizados.

m1 y m2 = Las masas de las dos partículas (normalmente en kilogramos)

r = la distancia en línea recta entre las dos partículas (normalmente en metros)

Interpretación de la ecuación

Esta ecuación nos da la magnitud de la fuerza, que es una fuerza de atracción y por lo tanto siempre se dirige hacia la otra partícula. Según la tercera ley de Newton del movimiento, esta fuerza es siempre igual y opuesta.

Fuerza de atracción entre masas diferentes. Fuente: Andrew Zimmerman Jones

En esta imagen, se verá que, a pesar de su masa y tamaños diferentes, tiran el uno al otro con una fuerza equivalente. Las tres leyes de Newton del movimiento nos dan las herramientas para interpretar el movimiento causado por la fuerza y vemos que la partícula de menor masa (que puede o puede no ser la partícula más pequeña, dependiendo de su densidad) se acelerará más que la otra partícula. Esto es porque los objetos caen a la Tierra mucho más rápido que la Tierra cae hacia ellos. Sin embargo, la fuerza que actúa sobre el objeto y la Tierra es de idéntica magnitud, aunque no lo parezca.

También es importante señalar que la fuerza es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre los objetos. Cuando los cuerpos se separan, la fuerza de gravedad cae muy rápidamente. En la mayoría de los objetos de masas considerables, tales como planetas, estrellas, galaxias y agujeros negro tiene efectos gravitacionales significante.

Centro de gravedad

En un objeto compuesto de muchas partículas, cada partícula interactúa con cada partícula del objeto. Ya que sabemos que las fuerzas (incluyendo la gravedad) son cantidades vectoriales, podemos ver estas fuerzas que tienen componentes en las direcciones paralelas y perpendiculares de los dos objetos. En algunos objetos, tales como esferas de densidad uniforme, las componentes de la fuerza perpendicular se anulan entre sí, de esta forma  podemos tratar a los objetos como si fueran partículas puntuales y solo considerar la fuerza neta entre ellos.

El centro de gravedad de un objeto (que generalmente es idéntico a su centro de masa) es útil en estas situaciones. Consideramos como si toda la masa del objeto se concentra en el centro de gravedad. En las formas simples (esferas, discos circulares, placas rectangulares, cubos, etc) este punto es en el centro geométrico del objeto.

La ley de Newton puede ser reformulada mediante un campo gravitatorio, lo que puede llegar a ser útil para estudiar distintas situaciones. En lugar de calcular las fuerzas entre dos objetos, podemos definir que un objeto con masa genera un campo gravitatorio a su alrededor. El campo gravitatorio se define como la fuerza de gravedad en un punto determinado, dividido por la masa de un objeto de prueba en ese punto, como se muestra a la derecha.

Líneas de campo gravitatorio de una masa puntual. Fuente: wikipedia

Se dará cuenta de que aquí, tanto g y Fg tienen flechas por encima de ellos, lo que denota su carácter vectorial. M es la masa que genera el campo gravitatorio. La r a la derecha de las dos fórmulas tiene un sombrerito (^) encima de ella, lo que significa que es un vector unitario en la dirección desde el punto de origen de la masa M. Dado que el vector posición r está siempre dirigido desde la fuente hasta el punto en estudio, mientras que la fuerza (y de campo) se dirigen hacia la fuente, se introduce un negativo el las expresiones de arriba.

Expresión de la gravedad. Fuente: Andrew Zimmerman Jones

Esta ecuación representa  un campo vectorial alrededor de M que siempre se dirige hacia la fuente, con un valor igual a la aceleración de la gravedad del objeto. Las unidades del campo gravitatorio son m/s2.

Cuando un objeto se mueve en un campo gravitacional, se debe realizar trabajo para llevar un objeto de un lugar a otro. Utilizando el cálculo, tomando la integral del trabajo (fuerza por desplazamiento) e integrando desde la posición inicial hasta la posición final. La constante gravitacional y las masas se mantienen constantes, la integral resulta ser simplemente la integral de 1/ r2 multiplicado por las constantes.

Energía potencial gravitatoria. Fuente: Andrew Zimmerman Jones

Definimos la energía potencial gravitatoria, U, tal que W = U1 – U2. Esto resulta en la ecuación a la derecha, para la Tierra (con una masa mE). En otro campo gravitacional, mE debe ser reemplazada por la distribución de masas adecuada.

Energía potencial gravitatoria de la Tierra

En la Tierra, ya que las cantidades involucradas son conocidas, la U (energía potencial gravitatoria) se puede reducir a una ecuación en términos de la masa m del objeto, la aceleración de la gravedad (g = 9,8m/s2), y la distancia por encima del orígen de coordenadas (por lo general el suelo en un problema de gravedad). Esto simplifica las ecuaciones y se obtiene la expresión de la energía potencial gravitatoria:

U = mgy

Queridos lectores dejamos esto acá por ahora, sino esto parece más a unas de mis clases defísica que a un post informativo. Pero con esto tienen la información suficiente como para defenderse en cualquier tertulia…

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6 respuestas a Conceptos de física #9: Ley de gravitación universal

  1. dama dragón dijo:

    Fuera de las formulas… que nunca entiendo… muy buen post… lástima lo de la manzana… aunque seguro se hizo un buen pastel….

  2. Anónimo dijo:

    ea aquui mi gran invento la maquina egha flatulencias

  3. Anónimo dijo:

    Me ha ayudado mucho a entender todo esto, la verdad es que no soy buena en física y no le he entendido nada a mi profesor pero con esto lo he captado todo. Gracias

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