Una nueva relación entre la Ley de Benford y la estadística de la física fundamental puede tener un indicio de una teoría del todo más completa.

Si no conocías esta particular ley y si no han leído la entrada que publicamos hace unos meses, acá va una breve descripción. En 1938, el físico Frank Benford hizo un descubrimiento extraordinario acerca de los números. Se encontró que en muchos conjuntos de números, el primer dígito es mucho más probable que sea un 1 que un 9. De hecho, la distribución de los primeros dígitos sigue una ley logarítmica. Así que el 1 aparece o se repite un 30 % del tiempo, mientras que el número 9 aparece sólo el 5 % del tiempo.

Eso es un descubrimiento inquietante y contradictorio. ¿Por qué no son los números uniformemente distribuidos en un conjunto? Una respuesta es que si los números tienen este tipo de distribución, entonces debe ser invariante de escala. Por lo tanto cambiar un conjunto de datos medidos en pulgadas a una medida en centímetros no debe cambiar la distribución. Si éste es caso, entonces la única forma que se produzca ésta distribución es que se distribuyan en forma logarítmica.

Si bien este argumento es muy poderoso, no explica la existencia de esa distribución, a no ser que seamos conformistas y nos quedemos con que eso es así por que sí.

Como habíamos dicho anteriormente esta ley solo se aplica a determinados tipos de datos. Como para recordar algunos ejemplos podemos mencionar la longitud de los ríos, las constantes físicas, los índices bursátiles, tamaños de archivo de una pc, etc. Pero si no recuerdan habíamos dicho que varios conjuntos no responden a esta ley como la lotería entre otros conjuntos que ya hemos mencionado.

Lo que no habíamos mencionado en el post anterior es ¿cuál es la diferencia entre estos conjuntos de datos que hace que la ley de Benford se aplique o no? Es difícil escapar a la sensación de que algo más debe estar faltando, ¿no les parece?

En eso están trabajando Lijing Shao y Ma Bo-Qiang en la Universidad de Pekín en China y ofrecen una nueva visión de la naturaleza de la Ley de Benford. Se examinará cómo la Ley de Benford se aplica a tres tipos de distribuciones estadísticas ampliamente utilizado en la física.

Estos son la distribución de Boltzmann-Gibbs, que es una medida de probabilidad que se utiliza para describir la distribución de los estados de un sistema; la distribución de Fermi-Dirac, que es una medida de las energías de las partículas individuales que obedecen el principio de exclusión de Pauli (es decir, fermiones); y la distribución de Bose-Einstein que es una medida de las energías de las partículas individuales que no obedecen el principio de exclusión de Pauli (es decir, los bosones).

Lijing y Bo-Qiang encontraron que la distribución de Boltzmann-Gibbs y la de Fermi-Dirac fluctúan de manera periódica en torno a la distribución de Benford con respecto a la temperatura del sistema. La distribución de Bose-Einstein, por el contrario, se ajusta a la Ley de Benford es exactamente lo que la temperatura es.

¿Qué hacer con este descubrimiento? Lijing y Bo-Qiang explican que la distribución logarítmica es una característica general de la física estadística, por lo que “podría ser un principio más fundamental de la complejidad de la naturaleza“.

Esa es una idea intrigante. ¿Podría ser que la ley de Benford en algún tipo de teoría subyacente gobierne la naturaleza de muchos sistemas físicos? Tal vez, pero es algo que aún no se puede contestar con certeza y se esta trabajando arduamente para contestar ésta y otras preguntas.

De cualquier forma se está trabajando en explicar porque no todos los conjuntos obedecen la Ley de Benford. Por último les dejo la fuente, que en gran parte fue el paper que está para bajar en la segunda figura y este blog.