Sabías que… #17: El número de Graham

En el Sabías que… #6 habíamos hablado de 2 números gigantescos; el gúgol y el gúgolplex. Habíamos dicho que si intentáramos escribir en una hoja el último de ellos nos faltaría espacio en el universo conocido para terminar de hacerlo. Creíamos que ese era el número más cercano al infinito pero nos equivocamos; un nuevo “monstruo matemático” acecha por aquí: El número de Graham.

Éste se debe al matemático Ronald Graham y no es que este muchacho jugaba a escribir el número más grande sino que vió la luz “accidentalmente” en una solución de un problema matemático conocido como teorema de Ramsey. Graham y su compañero buscaban acotar el número de posibles soluciones y en 1971 obtuvieron que la solución debía estar entre 6 y el infinito (esto es; 6 ≤ N* ≤ N). Posteriormente, Graham siguió trabajando y pudo dilucidar que el problema también presentaba una cota superior y que no iba hasta el infinito, esa cota superior era el número de Graham. Actualmente se sabe que la resolución del problema está entre [11 ≤ N* ≤ G], donde G es el número de Graham.

¿Qué tan grande es?

Es inimaginablemente grande. Cuando uno quiere escribir números gigantescos lo que hace es elevarlos a una potencia. Así vimos que como con el gúgol que era 10¹⁰⁰  y que escribirlo en potencias cuesta “sólo” cinco números. Si lo queremos representar sin potencias quedaba:

10¹⁰⁰ = 10 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000

 

Vieron lo poderosa que es la potenciación! Ahora, el gúgolplex es 10 a la 10 a la 100 o lo que es lo mismo 10 elevado a 1 seguido de 100 ceros. Un número desorbitadamente grande. Dicho esto, ahora les digo que para representar al número de Graham. Las torres de exponenciales de la forma no sirven porque representan a números demasiados pequeños para nuestro propósito. Lo que se utiliza son las notaciones de flechas de Knuth´s y funcionan de la siguiente forma:

Como notarán, es mucho más cómoda y se obtienen números gigantescos usando (por ejemplo) dos números y dos flechas. Pero la podemos hacer más difícil y variar la cantidad de “flechas”:

• 3↑3 = 3.3.3 = 27
• 3↑↑3 = 3↑(3↑3)=3(e 27) = 7.625.597.484.987
• 3↑↑↑3= 3↑↑3↑↑3 = 3(e 7.625.597.484.987) = A UN NÚMERO FUERA DE ESCALA.

El número de Graham

Ahora nos empezamos a acercar un delta a lo que es el número de Graham. Veamos el siguiente número que es la continuación de lo que veníamos describiendo:

g1 = 3↑↑↑↑3 = 3 elevado a un número que es igual a elevar 7,6 trillones de veces 3.

Y seguimos por el otro: g2 = 3↑………↑3. Donde hay g1 cantidad de flechas! Ahora ven adonde vamos?

Sigamos con el siguiente: g3 = 3↑………↑3 Donde hay g2 cantidad de flechas y recordemos que g2 fue generado con g1 flechas. Esto lo debemos repetir una y otra y otra vez hasta llegar a:

g64 = 3↑………↑3 que es el NÚMERO DE GRAHAM

Ni siquiera yo escribiendo y ustedes leyendo nos podemos dar una idea cabal de lo que es este gigantezco número. No podemos asociar nada del universo con él. Un buen cálculo hecho dice que si dividiéramos todo el universo conocido en volúmenes de Planck (1× 10⁻¹⁰⁵ m³) obtendríamos el valor de 10¹⁸⁵ que comparado con 3↑↑↑3 es ridículamente más chico. Y eso que ni siquiera hemos hablado de compara algo con g1.

Existen otros números grandes obtenidos como resultado de ecuaciones o problemas matemáticos como el de Skewes o el de Monses y según leí por ahí en los últimos años se encontraron otros números aplicables a problemas matemáticos aún más grandes que el de Graham pero ninguno tan famoso como él. A continuación les dejo un video de 9 minutos donde se explica sencillamente bien (en inglés):

http://www.youtube.com/watch?feature=player_embedded&v=XTeJ64KD5cg

Los que quieran ver más videos sobre este curioso numerito les dejo este link que contiene muchos videos sobre el tema. Como reflexión final, si de por sí es inentendible lo grande que es este número finito imagínense que nunca vamos a podernos dar una idea cabal del infinito. Es más; si bien el número de Graham es mucho más grande que el cero, ambos están a la misma distancia del infinito. Espero que les haya gustado y será hasta la próxima!