Fractales y la longitud de una costa

Los fractales son un tema muy abstracto y por ende muy difícil de escribir. Si buscan en Google les aparecerán un montón de publicaciones de blogs donde comentan tal o cual cosa o ejemplos trillados sobre brócolis o música. Sin embargo, (casi) todos caen en las mismas redundancias y no explican la génesis de la “criatura”. En el siguiente post vamos a describir el inicio de las ideas, un ejemplo relacionado con la medida de una línea de costa y posteriormente los campos de aplicación práctica. Eso sí, no se preocupe porque no va a ser ni largo ni aburrido.

Primero tengo que resaltar y aclarar que todo lo (poco) que conozco de fractales lo sé gracias a la fantástica segunda edición del libro escribo por el padre de los fractales, Benoit Mandelbrot. Por ello, y siguiendo el libro, las ideas primarias de las familias de curvas quebradas nacen con el premio Nobel físico Jean Perrin en lo que fue la obra más importante de su vida, (1913). En ella, escribe sobre los objetos familiares (coloides, movimiento browniano, costas)  que poseen una forma irregular o interrumpida y se queja de la falta de elementos matemáticos para describirlos:

“Los matemáticos, sin embargo, han comprendido muy bien la falta de rigor de estas consideraciones geométricas, y lo pueril de, por ejemplo, intentar demostrar, trazando una curva, que toda función continua admite derivada. Si bien las funciones derivables son las más simples, las más fáciles de manejar, constituyen a su vez, la excepción; o bien, si se prefiere un lenguaje geométrico, las curvas que no admiten tangente son la regla, y las curvas regulares, tales como el círculo, son casos interesantísimos, pero particularísimos.”

En este mismo libro, habla por primera vez de la dificultad de la medición del litoral (costa) de un país. Pero simplificando sus ideas, Perrin hizo una gran observación: La geometría de la naturaleza es caótica y está mal representada por el orden perfecto de las formas usuales de Euclides o del cálculo diferencial.

Siguiendo en el tiempo, en 1920 uno de los grandes matemáticos del siglo XX, Norbert Wiener, estudia y profundiza en el caos e identificaba dos grados de orden; el euclídeo y el fractal. Dentro del estudio del caos la geometría fractal se caracteriza por dos elecciones; la elección de problemas en el seno del caos de la naturaleza y la elección de herramientas en el seno de las matemáticas. Con su maduración progresiva, esas dos elecciones han creado algo nuevo entre el dominio del caos incontrolado y el orden excesivo de Euclides; la zona del orden fractal.

Sobre dimensiones

Del colegio conocemos que un punto tiene dimensión 0, una línea recta 1, una superficie 2 y un cubo tiene 3 dimensiones. El trabajo del matemático alemán Felix Hausdorff (en 1919, después le siguieron otros como Besicovitch 1920, etc.) amplió el concepto de “dimensión” para ciertas figuras ideales en las cuales no se puede decir que posean una dimensión entera sino que era una fracción (1/2, 3/2, un número irracional como log4/log3, o soluciones de ecuaciones complicadas). Lo interesante de la idea es que la dimensión de Hausdorff-Besicovitch (para decirlo más apropiadamente) da una idea de la “rugosidad” o cuán “deshilachada” es una curva. Si tiene un valor de 1,2 es mucho menos “rugosa” que otra curva de dimensión 1,5. El ensayo de Hausdorff continúa mostrando ejemplos de curvas que no tienden al infinito, pero cuya longitud entre dos puntos cualesquiera es infinita (vamos a volver a este ejemplo en pronto).

Pero, ¿cómo defino cuál es la dimensión?

Para continuar en nuestra aventura dimensionalmente fraccionaria, debemos pensar y recapacitar acerca del concepto de dimensión. Les propongo el siguiente juego: imaginen un ovillo de 10cm de diámetro que está hecho con hilo de 1mm de sección. ¿Cuántas dimensiones tiene? Si vemos el ovillo desde 10m de distancia lo vamos a ver como un punto y por lo tanto vamos a decir que es de dimensión 0. Si nos acercamos hasta 10cm vamos a ver que es una bola tridimensional; a 10mm es un conjunto de hilos de dimensión 1; a 0,1mm cada hilo es una columna tridimensional y si vamos a 0,01mm para cada columna vamos a ver que está compuesta de fibras unidimensionales. Pasamos por las siguientes dimensiones a medida que cambiábamos los marcos de vista: 0, 3, 1, 3, 1. Por ende, la respuesta a nuestra pregunta es que cualquier objeto tiene varias dimensiones efectivas específicas. El mero hecho que un resultado numérico dependa tan fuertemente entre la relación objeto-observador no es algo desconocido de esta época sino que se sabía desde hace tiempo.

La medición de una costa

La siguiente parte vamos a tratar de entender las curvas conexas de dimensión mayor a uno pero menor a 2. Las curvas representan un excelente ejemplo. Mandelbrot escribió un exquisito ensayo llamado ¿Cuánto mide la costa de Inglaterra? que vamos a resumir y explicar. La respuesta rápida es que la longitud de cualquier costa es infinita si la medimos con cada vez mayor precisión y depende de la herramienta de medida elegida. (También conocido como paradoja de la línea de costa)

La anterior figura es bastante gráfica con respecto a la regla de medida. Matemáticamente, el perímetro L(Ƞ) es inversamente proporcional a la medida de longitud de aproximación Ƞ. A medida que la longitud de la herramienta de medida se hace menor, entramos en la definición de las piedras de las playas, y luego la distancia entre los granos de arena y así. Este resultado es bastante anti-intuitivo; una curva cerrada puede ser infinita y sin embargo contener una superficie finita.

Los estudios de las costas fueron realizado por el matemático y físico Lewis Ray Richardson. En 1961 realizó un estudio empírico de la longitud de las costas del mundo mostrando la relación entre distancia y la longitud de medida:

En sus trabajos, dejó escrito que L(Ƞ) era proporcional a Ƞ elevado a la -α. Ese valor α depende de la costa elegida. Richardson no se dió cuenta de la importancia del exponente y lo tomó como un mero detalle matemático. Mandelbrot (1967s) trajo a la luz el trabajo de Richardson, reformuló el exponente como 1+α y lo llamó D y lo interpretó como una “dimensión fractal”. El intento de comprender ese factor ya lo había hecho Milkowski (1901) en su trabajo de bandas de recubrimiento; también Pontrjagin y Schnirelman (1932) y Kolmogorov y Tihomirov (1959, 1961) en sus trabajos de la épsilon-entropia. Hasta acá hemos avanzado muchísimo, pero nos queda por entender un poco más en detalle (sin entrar en la matemática pura y dura) de la dimensión fractal o dimensión de Hausdorff-Besicovitch.

Como vimos, si pudiéramos medir exactamente las costas naturales del mundo todas serían infinitas. Al comparar todas ellas, podríamos decir que una costa es 4 veces más grande que la otra porque 4 multiplicado por infinito es infinito. El desafío a principios de siglo estaba en expresar la idea de que tal curva tiene un “contenido” cuatro veces mayor que la otra. Ese procedimiento lo llevó a cabo Hausdorff y por eso también es conocido su trabajo como “dimensión de recubrimiento”.

La idea primaria de la dimensión fraccionaria parte de las ideas matemáticass del concepto de recubrimiento. El contenido lineal de una curva se calcula sumando pasos  Ƞ no trasformados (esto quiere decir, pasos elevados a la potencia de 1 que es la dimensión de la recta); el contenido de la superficie se obtiene sumando pedacitos de cuadrados y cada uno de ellos se calcula elevando Ƞ a la potencia de 2 que es la dimensión euclideana del plano. Hasta acá nada del otro mundo. Si queremos saber el “contenido” de una curva quebrada (por ejemplo, una costa), tenemos que tomar los pequeños segmentos de longitud Ƞ que está compuesta y centrarles círculos de radio Ƞ. Una vez centrados los hacemos tender a cero y se elevan a una potencia D obteniendo el “contenido aproximado en dimensión D”

La definición precisa del “contenido” es matemáticamente bastante más complicada y delicada, pero no quise ponerlas acá porque se iba de tema. El link a la Wiki previamente dejado puede servir de guía aunque está muy escueto.

Una vez más, ¿cómo defino la dimensión fractal?

Aunque parezca increíble, todavía hoy en 2011 no hay una definición precisa y de aceptación general para la dimensión fractal. Mandelbrot toma por definición de dimensión fractal la de Hausdorff pero deja en claro que no es lo suficientemente general para aplicarse a todos los objetos fractales. Otras definiciones incluyen la dimensión de empaquetamiento, la de Rényi, la de información, la de correlación y una que es muy amigable, la de homotecia. Como sabrán, los fractales son repeticiones de una sección principal llevada a escalas menores. Matemáticamente estamos hablando de la definición de conjunto cuasi autosimilar que hace uso del concepto de cuasi-isometría. Parece difícil pero es extremadamente simple obtener esta dimensión fractal de homotecia. Veamos primero la ecuación y luego un muy fácil ejemplo con el copo de nieve de Koch:

¿Qué dice esta ecuación? Que si dividimos una sección de longitud l en N secciones de longitud l, entonces podemos definir su dimensión muy fácilmente a través de esa ecuación. Vamos a construir la curva de Koch partiendo de una línea recta. En cada iteración, la longitud inicial se divide en tres, y en el sector medio se agregan dos tramos de longitud igual a los anteriores tres:

Es muy fácil determinar su dimensión es log4/log3=1,26!!! Si continuamos la división infinitamente vamos a obtener lo que se llama el copo de nieve de Koch:

Como ven, el perímetro es infinito si midiéramos las distancias entre puntos con el criterio de Lebesgue. Si tuviéramos una curva más “rugosa”, esto es, con más divisiones que las 4 de Koch, es evidente que la dimensión aumentaría, tendríamos una curva más rugosa pero que nunca llegaría a 2 sino que se acercaría el valor tangencialmente a la segunda dimensión. Veamos otros ejemplos de construcción de fractales:

En la figura de arriba se aprecia perfecto como aumenta la dimensión al crecer en “rugosidad” la curva. Todas las anteriores curvas corresponden a construcciones de diferentes curvas de Koch. Si tomamos la curva de abajo a la derecha, y la iteramos construimos lo que se llama curva cuadrática de Koch:

Existen muchísimas variantes de las curvas de Koch y acá van a poder ver todas ellas.

Algunos fractales clásicos

Hay fractales para tirar al techo. El primero de ellos es el conocido como conjunto de Cantor o polvo de Cantor. Tiene la característica de tener longitud nula. Se denomina polvo porque su dimensión se encuentra entre 0 y 1; más precisamente log2/log3=0,66:

A su vez, podemos llevar este ejemplo a dos y tres dimensiones. En dos dimensiones se llama alfombra de Sierpinski, tiene área nula y contorno infinito. Su muy bella forma es la siguiente:

Su dimensión es de log8/log3=1.8928. Si esta misma generalización la llevamos a un volumen, la construcción se llama esponja de Menger, tiene volumen nulo y superficie infinita. Su dimensión es log20/log3=2.7268…

También existen curvas fractales que recubren todo el plano; éstas fueron inicialmente creadas por el matemático italiano Giuseppe Peano por lo que se llaman “curva de Peano“. Empezaron a aparecer entre 1890 y 1925. En su límite llegan a una dimensión superior (2):

Si quieren apreciar más fractales, pueden hacer una búsqueda en Google para ver hermosas imágenes o entrar a este link donde podrán ver una gran cantidad de fractales determinísticos y naturales, su dimensión, una imagen y un link adonde van a poder encontrar más información.

Utilidad práctica

Muchas veces, al estudiar estos elementos matemáticos uno se pregunta cual puede ser su utilidad práctica más allá de su belleza en su forma y repetición.

Mandelbrot elabora en su libro una serie de aplicaciones para eventos que tienen comportamiento fractal entre las que se pueden destacar el estudio del comportamiento browniano, los errores por ráfagas en la trasmisión de datos, el comportamiento fractal de los cráteres lunares, la distribución de galaxias, modelos de relieve terrestre, superficies proyectivas de islas, modelos fractales de las orillas de una cuenca fluvial, estudios de turbulencia y sistemas dinámicos, compresión de imágenes, e inclusive leí hace un par de años que a través de la dimensión fractal de una costa unos biólogos habían estimado la cantidad de ballenas cercanas a las costas.

Adioses e información

Si llegaron hasta es que les gusta mucho el tema de fractales, sino habrían cerrado la página hace rato! Links extra aparte de las varias docenas que fui largando a lo largo del tema son los siguientes.

• De acá saqué algo de info e imágenes
• De acá más imágenes y una muy buena descripción de la dimensión de Hausdorff
• De acá más imágenes inclusive y una linda aproximación de la medida de costa de México

Esto fue todo por ahora. Este post me llevó 1 mes de lectura más de 2 semanas de escritura asique no esperen muchas más entradas en lo que queda de semana porque he quedado agotado 🙂 Espero que hayan disfrutado del tema tanto como yo y será hasta la próxima!