Un pequeño milagro matemático

Advertencia: Este post tiene altísimo contenido nerdístico-cervecero escrito en estilo libre ya que la teoría de conjuntos no es mi campo y no entiendo ni iota ni épsilon. Si usted sabe de teoría de conjuntos de Zermello-Frenkel, tómeselo con humor y con una cerveza. Si usted huye despavorido al ver un producto interno, se deshace en llanto y mocos al tener que calcular un determinante para aplicar el método de Kramer, si usted tiene regresiones a momentos vergonzosos de su infancia al ver un simple diagrama de Venn o si piensa que la transformada de Laplace se refiere a algún travesti, tal vez le convenga obviar este post.

Hace algún tiempo, YeOldeFox nos mostraba una interesante solución al problema de la superficie no permeable que forma un volumen cerrado, y separa al bebedor de la cerveza contenida en una botella; la solución, bastante elegante, consistía en utilizar una superficie no orientable sobre un punto de inflexión adecuado  que convirtiera en conexos a los espacios que ocupa la cerveza y el bebedor, lo que permite a la cerveza ser trasladada a ambos lados de la superficie y a un vaso, por que no.

Ahora, para ustedes, voy a realizar un milagro de navidad. Todo lo que requiere es un pequeño salto de fe, o para ponerlo en términos simples, requiere que consideremos al volumen lleno de cerveza como dividido en volúmenes más pequeños; pero que no sean volúmenes en el sentido tradicional sino que cada uno sea una dispersión infinita de puntos que forme a cada volumen; de esta forma podemos construir con ellos conjuntos inconmensurables (¿?, non-measurables) y, con el axioma de elección, podemos hacer uso de la paradoja Banach-Tarsky. ¡Tatáaaaaan! El doble de cerveza.

¿Cómo?

El teorema conocido como paradoja de Banach-Tarsky establece que una bola sólida en un espacio de tres dimensiones puede ser dividida en un número finito de pedazos que no se superpongan, y vueltos a armar en forma diferente para que produzcan dos copias idénticas de la bola original; el armado se hace sólo con traslaciones y rotaciones, sin cambiar la “forma” de las piezas. Para que esto sea posible las piezas tienen que ser esas nubes de puntos de las que hablaba recién mas que un volumen tradicional.

No es difícil ver por qué lo llaman “paradoja” de Banach-Tarsky; es recontra anti-intuitivo dividir un volumen en piezas menores, sólo rotarlas y trasladarlas (preservando cada uno de estos volumencitos) y al final obtener el doble de volumen. Sólo requiere tomar con cuidado el axioma de elección para poder conseguir conjuntos no medibles.

Un poco mas formal

La paradoja de Banach–Tarski dice que en un espacio euclidiano ordinario una superficie cerrada que contenga cerveza puede ser duplicada usando sólo operaciones de partición en subconjuntos, reemplazando un conjunto por un conjunto congruente y armando devuelta la bola de cerveza. Sea G un grupo actuando sobre un conjunto X. En un caso especial, X es un espacio n-dimensional euclidiano y G se compone de todas las isometrías de X (por ejemplo, transformaciones de X->X que preserven distancias, no así transformaciones de Lager->Pilsner). Dos figuras geométricas/pequeños volúmenes que contengan cerveza que pueden transformarse una en otra son llamadas congruentes. Dos subconjuntos A y B de X son llamados equidescomponibles respecto de G si A y B pueden ser particionadas en el mismo número de volúmenes de cerveza respectivamente congruentes con G. Esto define una relación de equivalencia entre todos los subconjuntos de X. Formalmente, si

A=\bigcup_{i=1}^k A_i, \quad B=\bigcup_{i=1}^k B_i, \quad A_i\cap A_j=B_i\cap B_j=\emptyset\qquad \forall i,j:\quad 1\leq i<j\leq k,

y hay elementos g1,…,gk de G tales que para cada i entre 1 y k, gi (Ai ) = Bi , entonces diremos que A y B son equidescomponibles respecto a G usando k volúmenes de cerveza. Si un conjunto E tiene dos subconjuntos A y B disjuntos tales que A y E así como B y E son equidescomponibles respecto a G entonces E es un  porrón paradógico.

Usando esto, reformulamos la paradoja Banach-Tarsky como sigue:

Una botella de cerveza euclidiana en tres dimensiones es equidescomponible con dos copias de si misma.

Si, todo ese quilombo para enunciar eso. Reemplácese el volumen hipotético con un volumen de cerveza Extra negra de invierno de El Bolsón y duplíquese. La demostración de como hacerlo es trivial, y se deja a cargo del lector. Procedimiento inspirado en éste cómic de xkcd (cuando no).

Facilisisísimo. Ahora le toca a Guillote mandarse uno de estos posts.

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2 respuestas a Un pequeño milagro matemático

  1. Guillote dijo:

    Sabelo, has sido, sos y serás lo más nerdo que conocí en mi vida… Pero muy buena la entrada
    Abrazo!

  2. Gabinni dijo:

    Jjajaja, encima los chistes del link están buenísimos (hablando objetivamente desde un punto de vista nerd, logicamente), sobretodo el del momento angular para alargar la noche, jajaja.

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